公园排水沟盖板损坏摔一跤，责任应由公园管理部门承担。
首先，公园排水沟盖板是公共设施的一部分，其主要功能是保障公园内的排水畅通，防止积水和滑倒事故的发生。因此，公园管理部门有责任确保排水沟盖板的正常运行和安全性。
其次，如果排水沟盖板损坏导致游客摔倒受伤，公园管理部门应承担管理责任。根据《中华人民共和国侵权责任法》第四十条的规定，公园管理部门作为公共场所的经营者，应当采取合理的措施，确保公共设施的安全性。如果公园管理部门未能及时修复或更换损坏的排水沟盖板，导致游客受伤，就构成了管理不善的行为，应承担相应的侵权责任。
此外，公园管理部门还应承担监督责任。根据《中华人民共和国侵权责任法》第四十一条的规定，公园管理部门应当对公共设施进行定期检查和维护，及时发现并修复存在的问题。如果公园管理部门未能履行监督责任，导致排水沟盖板损坏未被及时发现和修复，就应承担相应的责任。
最后，公园管理部门还应承担赔偿责任。根据《中华人民共和国侵权责任法》第四十三条的规定，公园管理部门应当对游客因排水沟盖板损坏摔倒受伤所造成的损失承担赔偿责任。赔偿范围包括医疗费、误工费、精神损害抚慰金等。
综上所述，公园排水沟盖板损坏摔一跤的责任应由公园管理部门承担。公园管理部门应当加强对公共设施的维护和监督，确保游客的安全。同时，对于因排水沟盖板损坏摔倒受伤的游客，公园管理部门应承担相应的赔偿责任。"