在大多数情况下，阳台外接排水管的安装和维修是由物业管理部门或者小区管理办公室负责的。因此，如果您需要申请安装或维修阳台外接排水管，您可以按照以下步骤进行：
1. 了解物业管理部门或小区管理办公室的联系方式：您可以查看小区公告板、物业管理手册或者咨询邻居，了解物业管理部门或小区管理办公室的联系方式。通常，他们会提供电话号码、办公地址和工作时间等信息。
2. 联系物业管理部门或小区管理办公室：使用您了解到的联系方式，与物业管理部门或小区管理办公室进行联系。您可以选择电话联系或亲自前往办公室。
3. 说明您的需求：与物业管理部门或小区管理办公室的工作人员沟通时，清楚地说明您的需求。您可以说明您需要安装或维修阳台外接排水管，并提供相关的详细信息，如阳台的位置、排水管的长度和材质等。
4. 提供必要的材料和信息：根据物业管理部门或小区管理办公室的要求，提供必要的材料和信息。这可能包括您的身份证明、房产证明、户型图、施工方案等。
5. 等待审批和安排施工：一旦您提交了申请，物业管理部门或小区管理办公室将会进行审批，并安排相关的施工工作。您可能需要等待一段时间，直到他们完成审批和安排。
6. 配合施工人员的工作：一旦申请获得批准并安排施工，您需要配合施工人员的工作。这可能包括提供施工所需的通行证、清理阳台上的物品等。
7. 完成施工并验收：在施工完成后，您需要与物业管理部门或小区管理办公室进行验收。确保阳台外接排水管的安装或维修符合您的要求和标准。
总结起来，申请安装或维修阳台外接排水管的部门通常是物业管理部门或小区管理办公室。您可以通过联系物业管理部门或小区管理办公室，提供必要的材料和信息，并配合施工人员的工作，最终完成安装或维修工作。